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Os Quadrados mágicos

O assunto mais importante tratado nos Jogos Boole são os processos booleanos no trato das sentenças ou proposições abordados através de histórias lógicas.

 Porém, nos jogos abordamos também dois outros assuntos também muito importantes: A introdução ao Sistema Binário de numeração e os Quadrados Mágicos utilizados por nós para mostrarmos as formas de pensamento Aleatório, Heurístico e Algorítmico.

         Segundo a história da Matemática os Quadrados Mágicos foram descobertos pelos chineses há mais de 3.000 anos antes de Cristo.

         Mas, em que consistem os Quadrados Mágicos?

         Os chamados Quadrados Mágicos consistem em uma matriz numérica quadrada em que as somas das linhas, das colunas e das duas diagonais principais são as mesmas.

         Por exemplo o Quadrado Mágico 3 x 3, é formado pelos nove dígitos: 1,2,3,4,5,6,7,8,9 dispostos em três linhas e três colunas. Se os dígitos forem colocados aleatoriamente na matriz, o tempo necessário para a formação destas matrizes especiais era calculado em 40 dias de trabalho ininterrupto para a conclusão da tarefa. Com o advento dos Computadores, esta afirmação não tem mais sentido.

 De qualquer forma parece natural que os primeiros interessados em resolver este problema tenham procurado soluções menos demoradas, como ocorre em todo o processo científico. 

         No procedimento aleatório o cálculo das possibilidades nos fornece o seguinte valor:

 

         9! (fatorial de nove), isto é, 9x8x7x6x5x4x3x2x1=362.880 possibilidades de colocação dos dígitos na matriz.

 

 Diante desta dificuldade os matemáticos da antigüidade imaginaram outros caminhos para a solução do problema.

 

         Uma das soluções consiste em fazer composições dos 9 dígitos 3 a 3:

 

1+5+9, 1+6+8, 2+4+9, 2+5+8, 2+6+7, 3+4+8, 3+5+7, 4+5+6 e, comparar com o quadro:

                                     A         L         A

                                     L         C         L

                                     A         L         A

         Comparando os resultados numéricos com a matriz de letras, observamos que há 4 elementos angulares (A), 4 laterais (L) e 1 central(C).

         Se, ao executarmos as somas horizontais, verticais e diagonais verificarmos que os elementos laterais entram duas vezes na composição das somas, então eles são os números 1,3,7,9.

Como os angulares entram 3 vezes nas somas eles são o números 2,4,6,8.

         Como o dígito 5 aparece 4 vezes nas somas ele é o elemento central.

         Com as cartas dos baralhos vermelho e azul podemos construir Quadrados Mágicos 3 x 3 e com o baralho verde Quadrados Mágicos 4 x 4.

         Em que consiste o processo Aleatório?         

É a forma livre arbitrária, verificando a cada passo as somas das linhas, colunas e diagonais até chegar ao resultado desejado.

Se porém, de alguma forma tivermos por exemplo a informação de que o problema só tem solução quando o dígito 5 é o elemento central, ou que os dígitos pares devem ficar nos 4 cantos da matriz, isto é, são os elementos angulares, então o ataque ao problema não será mais aleatório.

         Os indicadores citados, alteram a forma do processo de busca da solução, o processo passa a ser então o chamado processo Heurístico.

           Todos os problemas com que nos defrontamos na vida diária e mesmo na ciência são em princípio resolvidos por uma destas duas formas de pensamento.

           Mas, como sabemos muitos problemas podem ser resolvidos por fórmulas precisas, isto é, existem regras que utilizadas permitem que em um número finito de passos se consiga alcançar o objetivo procurado.

           Estes procedimentos são chamados Algorítmicos (palavra derivada do árabe), utilizados não só para produzirmos uma receita de bolo como também para a formulação de programas de computador em diversas linguagens, um dos algoritmos mais famosos é a fórmula de Báskara, que tanto aterroriza os jovens do ensino básico.

 

         Vejamos o processo algorítmico:

 

                  Seja a matriz:

 

                                     x         x         

 

                                     x         x         x

 

                                     x          x        x

 

         Embora, seja possível chegarmos a solução do problema pela análise matemática, vamos colocar de forma arbitrária o dígito 1 na posição central da primeira linha:

                                     

                                     x          1        x

 

                                     x         x         x

 

                                     x         x         x

 

e, partir daí vamos utilizar duas regras na construção automática de um Quadrado Mágico 3 x 3.     

 

REGRA 1.

                  A partir do número 1 na posição em que se encontra na matriz façamos os seguintes deslocamentos: um movimento para cima, e se não for possível, como é o caso presente porque sairíamos dos limites da matriz, o deslocamento deve ser para a última linha na mesma coluna e daí um segundo deslocamento para à esquerda.

                  Coloque então o 2 na posição que lhe cabe na matriz.

    Assim:

 

                                     x         1         x

 

                                     x         x         x

 

                                     2         x         x

 

         Para colocar o número 3 proceda assim: Faça um deslocamento para cima a partir da posição do 2 e tente deslocar-se para á esquerda. Este segundo movimento também, não é possível porque novamente sairíamos dos limites da matriz. Então faça o deslocamento para o lado oposto na segunda linha e terceira coluna, assim:

 

                                     x         1         x

 

                                     x         x         3

 

                                     2         x         x

         Se, para colocarmos o número quatro partirmos da posição do número 3 e fizermos um deslocamento para cima e a seguir um para à esquerda chegaremos a posição já ocupada pelo número 1.

         Então, o que fazer?

         REGRA 2.

         Quando a regra 1 não funciona aplica-se a regra 2 que consiste no seguinte:

         Faça apenas um deslocamento para baixo na mesma coluna, assim:

                                     x          1        x

 

                                     x         x         3

 

                                     2         x         4

 

         Para prosseguir volte a regra 1.

 

                                     x          1        x

 

                                     x         5         3

 

                                     2         x         4

 

e, sucessivamente:

 

                                     6         1         x

 

                                     x         5         3

 

                                     2         x         4

 

Na colocação do número 7 a regra 1 também não funciona, então aplicamos a regra 2, e para colocação dos números 8 e 9 voltamos a regra 1.

         É, óbvio que partir de um certo estagio da construção do Quadrado Mágico, não precisamos mais das regras, uma vez que para completá-lo, sabemos que os ternos de números das linhas, colunas e diagonais devem somar 15.

          

                     O LIVRO NOVO E OS QUADRADOS MÁGICOS

 

         Acompanha o livro novo um baralho com 48 figurinhas numeradas de 1 a 48, então com elas podemos construir não só os Quadrados Mágicos 3 x3, 4 x 4, 5 x 5, 6 x 6 e mesmo o 7 x 7.

 

3 x 3                                6         1         8

                                       7         5         3

                                       2         9         4

 

 

4 x 4                               16         2         3       13

                                        5       11        10        8

                                        9         7          6      12

                                        4       14        15        1

 

5 x 5                               15         8         1       24     17

                                      16        14         7        5     23

                                      22        20       13        6       4

                                        3        21       19      12      10

                                        9          2       25      18      11

 

6 x 6                                6       32      3      34      36     1

                                       7       11     27      28       8   30

                                     19       14     16      15      23   24

                                     18       20     22      21      17   13

                                     25       29     10       9       26   12

                                     36        5     33        4       2     31        

   

7 x 7          

O baralho que acompanha o livro novo tem somente 48 figurinhas e para construirmos um Quadrado Mágico 7 x 7 precisamos de 49 números sugerimos a colocação no lugar destinado ao número 49 um símbolo qualquer desde que esclareçamos que ele está representando este número.

 

Quadrado Mágico

 

7 x 7

    

 22         47         16         41         10         35          4

   5         23         48         17         42         11         29

 30           6         24        (49)        18         36         12

 13         31           7         25         43         19         37

 38         14         32           1         26         44         20

 21         39           8         33          2          27         45

 46         15         40            9       34           3          28

 

No quadrado 3 x 3, como a soma dos números de 1 a 9 é 45, cada coluna deve somar 15, no quadrado 4 x 4 como a soma de 1 a 16 é 136, cada coluna deve somar 34, no quadrado 5 x 5, como a soma de 1 a 25  é 325, cada coluna deve somar 65, no quadrado 6 x 6, como a soma de 1 a 36 é 666, cada coluna deve somar 111. E, finalmente, no quadrado 7 x 7, como a soma de 1 a 49 é 1225, cada coluna deve somar 175.

 

Na Antigüidade, os Quadrados Mágicos recebiam denominações especiais 3 x 3, estava ligado ao planeta Saturno, 4 x 4 a Júpiter, 5 x 5 a Marte, 6 x 6 ao Sol e 7 x 7 a Vênus.

 


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