A álgebra de Boole

A Álgebra de Boole é uma estrutura matemática abstrata(George Boole-1813-1864).
Definição: Um conjunto A de elementos a,b,c,... e duas operações binárias, entre seus elementos, denominadas soma (+) e produto(.), formando a terna [ A, +, . ] é o que se denomina uma Álgebra de Boole se são válidas as seguintes leis:
Comutatividade: a + b = b + a, a . b = b . a
Associatividade: (a + b) + c = a + (b + c)
      a . b ) c = a . ( b. c ) 
Distributividade: a + ( b. c ) = ( a + b ) . ( a + c )
      a . ( b + c ) = ( a . b ) + ( a . c )

Observe que a multiplicação é distributiva em relação a adição como na álgebra clássica mas que aqui a adição também é distribuitiva em relação a multiplicação. Esta é uma notável diferença entre as duas álgebras.
Fechamento: Para quaisquer par a,b pertencente a A, a soma a+b e o produto a . b existem e são elementos únicos em A .
Identidade: para qualquer "a" pertencente a "A" existe um único "0" (zero) pertencente a "A" e um único "1" pertencente a "A" tal que: a + 0 = a, e, a .1 = a
Obs. O 0(zero) é denominado identidade aditiva e o 1(um) identidade multiplicativa.
Complemento:Para qualquer "a" pertencente a "A", existe um único "ã" pertencente a "A" denominado complemento de "a" tal que:
a + ã = 1 e, a . ã = 0.